TUGAS MATA KULIAH GEOMETRI

GEOMETRI NON EUCLID

Postulat Sejajar Lobachevski

DOSEN PENGAMPU :

Dr. YUSUF HARTONO, M.A

Dra. NYIMAS AISYAH, M.Pd

KELOMPOK :

Bambang Riyanto (20082012001)

Lela Anggraini (20082012003)

Khairina (20082012004)

Hartatiana (20082012005)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

PROGRAM PASCA SARJANA

UNIVERSITAS SRIWIJAYA

2008 / 2009

GEOMETRI NON EUCLID

Postulat Sejajar Lobachevski

‘Ada setidaknya dua garis sejajar pada suatu garis yang diketahui, yang akan melalui suatu titik yang diketahui yang tidak berada pada garis tersebut”

1. Teorema Nonmetrik

Teorema pertama Lobachevski merupakan teorema dasar yang tidak melibatkan ide metrik seperti jarak, ketegak lurusan, atau luas. Teorema

tersebut menyatakan tentang sifat posisional atau sifat dari garis

Teorema 1

“Sebarang garis akan termuat secara keseluruhan dalam interior suatu sudut”

Bukti:

Misalkan suatu garis

Pilih titik P yang tidak pada

Dengan menggunakan Postulat sejajar Lobachevski, ada garis yang berbeda m,n yang memuat P dan yang sejajar dengan .

Garis m dan n memisahkan bidang tersebut menjadi 4 daerah, setiap daerah tersebut merupakan interior dari suatu sudut

Daerah tersebut dapat diberi label sebagai interior APB, APB’A’PBA’PB’, dengan P berada pada A dan A’ pada m, dan P berada antara B dan B’ pada n

Misalkan Q adalah sebarang titik pada

Karena tidak bertemu dengan m atau n, maka Q tida berada pada m atau n

Jadi Q merupakan interior A’PB.

Karena titik Q pada dan berada pada interior A’PB, dan karena tidak bertemu dengan sisi PA’, PB dari sudut tersebut, jelas terperangkap dalamA’PB yaitu termuat secara keseluruhan dalam interior A’PB

Corollary

“Ada tidak berhingga banyaknya garis yang sejajar dengan suatu garis yang diketahui yang melalui sutu titik yang diketahui yang tidak berada pada garis tersebut”

Bukti:

Misalkan merupakan garis yang diketahui dan P merupakan titik yang diketahui

Misalkan R merupakan interior APB, maka garis PR (tidak termasuk titik P) secara keseluruhan termuat dalam interior APB dan A’PB’ dan tidak bertemu dengan yang termuat dalam interior A’PB

Jadi PR //

Corollary tersebut berlaku benar karena ada tidak berhingga banyaknya garis PR tersebut.

2. Jumlah Sudut Segitiga dalam Geometri Lobachevski

Lemma 1

”Jumlah dua sudut segitiga akan kurang dari atau sama dengan sudut luar pencilannya”

Bukti :

Pada dengan menggunakan teorema Saccheri – Legendre maka

Dengan mengurangkan dari kedua sisi pertidaksamaan ini, maka

Lemma ini berlaku benar karena sudut luar pencilan di C sama dengan 180-C

Lemma 2

” Misalkan l adalah suatu garis, P suatu titik bukan pada l, dan Q titik pada l ; misalkan suatu sisi dari garis PQ diketahui. Maka akan ada titik R dari l, pada sisi yang diketahui dari PQ, sedemikian sehingga bisa sekecil mungkin yang diinginkan”

Bukti:

Misalkan a merupakan sebarang sudut yang diketahui

Kita harus tunjukkan bahwa ada titik R dari , pada sisi yang diketahui dari

PQ Э PRQ a

Pertama kita atur suatu prosedur untuk mendapatkan barisan sudut,

PR1Q, PR2Q,………………..

setiap suku tidak lebih besar dari setengah suku pendahulunya.

Misalkan R1 merupakan titik di pada sisi yang diketahui dari PQ sedemikian sehingga = .

Gambarlah maka sama kaki, dan = = b

Misalkan b merupakan sudut eksterior dari di Q, dengan menggunakan lemma 1

b + b = 2b ≤ b, sehingga b b ……….(1)

Sekarang bentuk segitiga baru dan ulangi argumen di atas.

Perluas melalui R hingga R yang menjadikan =

Gambarlah maka sama kaki, dan = = = b

dengan menggunakan lemma 1

b + b = 2b ≤ b, sehingga bb

Dengan menggunakan persamaan (1) secara tidak langsung menyatakan b= b

Dengan mengulangi proses ”bagi dua ini” n kali, kita peroleh suatu titik Rn dari , pada sisi yang diketahui dari PQ, sedemikian sehingga bn = b

Hasil tersebut berlaku benar.

Pilih n cukup besar sehingga b < a. Maka < a

Jadi teorema berlaku dengan R = Rn

Teorema 2:

Ada segitiga yang memiliki jumlah sudut kurang dari 180°”

Bukti:

Misalkan merupakan garis dan P merupakan titik yang tidak berada pada

Kita peroleh garis m melalui P yang sejajar dengan

Misalkan PQ di Q dan mPQ di P

Dengan menggunakan postulat sejajar Lobachevski, ada garis lain n yang melalui P sejajar dengan

Satu dari sudut yang n bentuk dengan PQ haruslah lancip

Misalkan X merupakan titik dari n sedemikian sehingga merupakan sudut lancip

Misalkan Y merupakan titik dari m pada sisi yang sama dari garis PQ sebagai X. Misalkan a= maka = 90° – a.

Gunakan lemma 2.Misalkan R merupakan titik dari . Pada sisi PQ yang memuat X , sedemikan sehingga .

Perhatikan Segitiga PQR

= 90°

Dengan menambahkan kita peroleh

, sehingga memiliki jumlah sudut kurang dari 180°

Teorema 3

”Jumlah sudut setiap segitiga adalah kurang dari 180° ”

Bukti:

Dengan menggunakan teorema 2, ada segitiga yang memiliki jumlah sudut yang kurang dari 180°. Karenanya hal yang sama berlaku benar untuk setiap segitiga (BAB 3, teorema 6 , corollary 2)

Corollary 1

” jumlah sudut setiap segi empat adalah kurang dari 360° ”

Corollary 2

Tidak ada empat persegi panjang”

3. Ada segitiga yang sama dalam geometri Lobachevski

Teorema 4

” Dua segitiga akan kongruen jika sudut yang sama letaknya dari kedua segitiga tersebut sama besar”

Bukti:

Anggap teorema tersebut salah

Maka ada dua segitiga, ∆ABC dan ∆A’B’C’, sedemikian sehingga A=A’, B=B’, C=C’, tetapi segitiga tersebut tidak kongruen, maka , dan

Pertimbangkan tripel dari segmen ,, dan , ,.

Satu dari tripel tersebut harus memuat dua segmen yang lebih besar dari pada dua segmen pada tripel lainnya.

Akibatnya, tidak dibatasi jika menganggap >dan >.

Jadi, kita dapat menentukan B” pada dan C” pada sedemikian sehingga = dan =

Akibatnya ∆AB”C”∆A’B’C’ sehingga AB”C” = B’=B.

Karenanya BB”C” merupakan tambahan pada B, B”C”C juga merupakan tambahan pada . Oleh karena segi empat BB”C”C memiliki jumlah sudut dari 360°, kontradiksi dengan corollary 1 teorema 3

DAFTAR PUSTAKA

Prenowitz. 1996. Basic Concept of Geometry. Toronto London



About this entry